Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 5764
↖ ↑ ↗
← N 46.980253°
E  2.900391°		 ← 1 666.88 m → N 46.980253°
E  2.922363°		 →
↑
1 667.16 m
↓
↑
1 667.16 m
↓
N 46.965259°
E  2.900391°		 ← 1 667.35 m →
2 779 358 m²		 N 46.965259°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.351837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351837158203125 × 214)
    floor (0.351837158203125 × 16384)
    floor (5764.5)     		ty = 5764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 5764 ti = "14/8324/5764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/5764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5764 ÷ 214
    5764 ÷ 16384     		y = 0.351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351806640625 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931126338219971))-π/2
    2×atan(2.5373655004643)-π/2
    2×1.19537820689656-π/2
    2.39075641379313-1.57079632675     		φ = 0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 5764 0.05062137 0.81996009 2.900391 46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 5764 0.05100486 0.81996009 2.922363 46.980253
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 5765 0.05062137 0.81969841 2.900391 46.965259
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 5765 0.05100486 0.81969841 2.922363 46.965259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81996009-0.81969841) × R
    0.000261680000000042 × 6371000     		dl = 1667.16328000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81996009-0.81969841) × R
    0.000261680000000042 × 6371000     		dr = 1667.16328000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.81996009) × R
    0.00038349 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 1666.8842354503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.81969841) × R
    0.00038349 × 0.682441682528822 × 6371000     		du = 1667.3516120669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81996009)-sin(0.81969841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682441682528822)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×0.00019129575447574×R²
    0.00038349×0.00019129575447574×6371000²
    0.00038349×0.00019129575447574×40589641000000     		ar = 2779357.80178031m²