Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8326 / 5510
↖ ↑ ↗
← N 50.652944°
E  2.944336°		 ← 1 549.04 m → N 50.652944°
E  2.966309°		 →
↑
1 549.30 m
↓
↑
1 549.30 m
↓
N 50.639010°
E  2.944336°		 ← 1 549.50 m →
2 400 280 m²		 N 50.639010°
E  2.966309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508209228515625 y=0.336334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508209228515625 × 214)
    floor (0.508209228515625 × 16384)
    floor (8326.5)     		tx = 8326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336334228515625 × 214)
    floor (0.336334228515625 × 16384)
    floor (5510.5)     		ty = 5510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8326 / 5510 ti = "14/8326/5510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8326/5510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8326 ÷ 214
    8326 ÷ 16384     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5510 ÷ 214
    5510 ÷ 16384     		y = 0.3363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3363037109375 × 2 - 1) × π
    0.327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02853411824792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02853411824792))-π/2
    2×atan(2.79696281141383)-π/2
    2×1.22742848218056-π/2
    2.45485696436112-1.57079632675     		φ = 0.88406064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88406064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.652944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8326 KachelY 5510 0.05138836 0.88406064 2.944336 50.652944
    Oben rechts KachelX + 1 8327 KachelY 5510 0.05177185 0.88406064 2.966309 50.652944
    Unten links KachelX 8326 KachelY + 1 5511 0.05138836 0.88381746 2.944336 50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 8327 KachelY + 1 5511 0.05177185 0.88381746 2.966309 50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88406064-0.88381746) × R
    0.000243179999999898 × 6371000     		dl = 1549.29977999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88406064-0.88381746) × R
    0.000243179999999898 × 6371000     		dr = 1549.29977999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05177185) × cos(0.88406064) × R
    0.00038349 × 0.634016206757387 × 6371000     		do = 1549.03777344935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05177185) × cos(0.88381746) × R
    0.00038349 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 1549.49718859621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88406064)-sin(0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634016206757387-0.634204243907759)×R²
    abs(0.05177185-0.05138836)×0.000188037150372189×R²
    0.00038349×0.000188037150372189×6371000²
    0.00038349×0.000188037150372189×40589641000000     		ar = 2400279.77933827m²