Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8326 / 5758
↖ ↑ ↗
← N 47.070122°
E  2.944336°		 ← 1 664.08 m → N 47.070122°
E  2.966309°		 →
↑
1 664.36 m
↓
↑
1 664.36 m
↓
N 47.055154°
E  2.944336°		 ← 1 664.55 m →
2 770 018 m²		 N 47.055154°
E  2.966309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508209228515625 y=0.351470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508209228515625 × 214)
    floor (0.508209228515625 × 16384)
    floor (8326.5)     		tx = 8326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351470947265625 × 214)
    floor (0.351470947265625 × 16384)
    floor (5758.5)     		ty = 5758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8326 / 5758 ti = "14/8326/5758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8326/5758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8326 ÷ 214
    8326 ÷ 16384     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5758 ÷ 214
    5758 ÷ 16384     		y = 0.3514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3514404296875 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933427309401733))-π/2
    2×atan(2.54321062751401)-π/2
    2×1.19616246595873-π/2
    2.39232493191745-1.57079632675     		φ = 0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8326 KachelY 5758 0.05138836 0.82152861 2.944336 47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 8327 KachelY 5758 0.05177185 0.82152861 2.966309 47.070122
    Unten links KachelX 8326 KachelY + 1 5759 0.05138836 0.82126737 2.944336 47.055154
    Unten rechts KachelX + 1 8327 KachelY + 1 5759 0.05177185 0.82126737 2.966309 47.055154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82152861-0.82126737) × R
    0.00026123999999994 × 6371000     		dl = 1664.36003999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82152861-0.82126737) × R
    0.00026123999999994 × 6371000     		dr = 1664.36003999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05177185) × cos(0.82152861) × R
    0.00038349 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 1664.08037055751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05177185) × cos(0.82126737) × R
    0.00038349 × 0.681294027344564 × 6371000     		du = 1664.54764394691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82152861)-sin(0.82126737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.681294027344564)×R²
    abs(0.05177185-0.05138836)×0.000191253503911804×R²
    0.00038349×0.000191253503911804×6371000²
    0.00038349×0.000191253503911804×40589641000000     		ar = 2770017.7434348m²