Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8329 / 5513
↖ ↑ ↗
← N 50.611132°
E  3.010254°		 ← 1 550.46 m → N 50.611132°
E  3.032227°		 →
↑
1 550.70 m
↓
↑
1 550.70 m
↓
N 50.597186°
E  3.010254°		 ← 1 550.92 m →
2 404 652 m²		 N 50.597186°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508392333984375 y=0.336517333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508392333984375 × 214)
    floor (0.508392333984375 × 16384)
    floor (8329.5)     		tx = 8329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336517333984375 × 214)
    floor (0.336517333984375 × 16384)
    floor (5513.5)     		ty = 5513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8329 / 5513 ti = "14/8329/5513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8329/5513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8329 ÷ 214
    8329 ÷ 16384     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5513 ÷ 214
    5513 ÷ 16384     		y = 0.33648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33648681640625 × 2 - 1) × π
    0.3270263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02738363265704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02738363265704))-π/2
    2×atan(2.7937467963453)-π/2
    2×1.22706360666714-π/2
    2.45412721333428-1.57079632675     		φ = 0.88333089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88333089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.611132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8329 KachelY 5513 0.05253884 0.88333089 3.010254 50.611132
    Oben rechts KachelX + 1 8330 KachelY 5513 0.05292234 0.88333089 3.032227 50.611132
    Unten links KachelX 8329 KachelY + 1 5514 0.05253884 0.88308749 3.010254 50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 8330 KachelY + 1 5514 0.05292234 0.88308749 3.032227 50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88333089-0.88308749) × R
    0.000243400000000005 × 6371000     		dl = 1550.70140000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88333089-0.88308749) × R
    0.000243400000000005 × 6371000     		dr = 1550.70140000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.88333089) × R
    0.000383499999999995 × 0.634580367983464 × 6371000     		do = 1550.45656961607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.88308749) × R
    0.000383499999999995 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 1550.91613702336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88333089)-sin(0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634580367983464-0.634768462548737)×R²
    abs(0.05292234-0.05253884)×0.00018809456527269×R²
    0.000383499999999995×0.00018809456527269×6371000²
    0.000383499999999995×0.00018809456527269×40589641000000     		ar = 2404651.51092511m²