Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8329 / 5767
↖ ↑ ↗
← N 46.935261°
E  3.010254°		 ← 1 668.33 m → N 46.935261°
E  3.032227°		 →
↑
1 668.56 m
↓
↑
1 668.56 m
↓
N 46.920255°
E  3.010254°		 ← 1 668.80 m →
2 784 107 m²		 N 46.920255°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508392333984375 y=0.352020263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508392333984375 × 214)
    floor (0.508392333984375 × 16384)
    floor (8329.5)     		tx = 8329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352020263671875 × 214)
    floor (0.352020263671875 × 16384)
    floor (5767.5)     		ty = 5767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8329 / 5767 ti = "14/8329/5767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8329/5767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8329 ÷ 214
    8329 ÷ 16384     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5767 ÷ 214
    5767 ÷ 16384     		y = 0.35198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35198974609375 × 2 - 1) × π
    0.2960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929975852629089))-π/2
    2×atan(2.53444797662359)-π/2
    2×1.19498558221266-π/2
    2.38997116442531-1.57079632675     		φ = 0.81917484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81917484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.935261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8329 KachelY 5767 0.05253884 0.81917484 3.010254 46.935261
    Oben rechts KachelX + 1 8330 KachelY 5767 0.05292234 0.81917484 3.032227 46.935261
    Unten links KachelX 8329 KachelY + 1 5768 0.05253884 0.81891294 3.010254 46.920255
    Unten rechts KachelX + 1 8330 KachelY + 1 5768 0.05292234 0.81891294 3.032227 46.920255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81917484-0.81891294) × R
    0.000261899999999926 × 6371000     		dl = 1668.56489999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81917484-0.81891294) × R
    0.000261899999999926 × 6371000     		dr = 1668.56489999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.81917484) × R
    0.000383499999999995 × 0.682824287253553 × 6371000     		do = 1668.32990032441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.81891294) × R
    0.000383499999999995 × 0.68301560342657 × 6371000     		du = 1668.79733901664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81917484)-sin(0.81891294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682824287253553-0.68301560342657)×R²
    abs(0.05292234-0.05253884)×0.000191316173017042×R²
    0.000383499999999995×0.000191316173017042×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191316173017042×40589641000000     		ar = 2784106.70511234m²