Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8335 / 5775
↖ ↑ ↗
← N 46.815099°
E  3.142090°		 ← 1 672.07 m → N 46.815099°
E  3.164063°		 →
↑
1 672.26 m
↓
↑
1 672.26 m
↓
N 46.800060°
E  3.142090°		 ← 1 672.54 m →
2 796 527 m²		 N 46.800060°
E  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508758544921875 y=0.352508544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508758544921875 × 214)
    floor (0.508758544921875 × 16384)
    floor (8335.5)     		tx = 8335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352508544921875 × 214)
    floor (0.352508544921875 × 16384)
    floor (5775.5)     		ty = 5775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8335 / 5775 ti = "14/8335/5775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8335/5775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8335 ÷ 214
    8335 ÷ 16384     		x = 0.50872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5775 ÷ 214
    5775 ÷ 16384     		y = 0.35247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50872802734375 × 2 - 1) × π
    0.0174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05483981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35247802734375 × 2 - 1) × π
    0.2950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.926907891053406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05483981} λ = 0.05483981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926907891053406))-π/2
    2×atan(2.52668430303143)-π/2
    2×1.19393696889764-π/2
    2.38787393779527-1.57079632675     		φ = 0.81707761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05483981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.142090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81707761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.815099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8335 KachelY 5775 0.05483981 0.81707761 3.142090 46.815099
    Oben rechts KachelX + 1 8336 KachelY 5775 0.05522331 0.81707761 3.164063 46.815099
    Unten links KachelX 8335 KachelY + 1 5776 0.05483981 0.81681513 3.142090 46.800060
    Unten rechts KachelX + 1 8336 KachelY + 1 5776 0.05522331 0.81681513 3.164063 46.800060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81707761-0.81681513) × R
    0.000262480000000065 × 6371000     		dl = 1672.26008000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81707761-0.81681513) × R
    0.000262480000000065 × 6371000     		dr = 1672.26008000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05483981-0.05522331) × cos(0.81707761) × R
    0.000383499999999995 × 0.684354984301183 × 6371000     		do = 1672.0698195109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05483981-0.05522331) × cos(0.81681513) × R
    0.000383499999999995 × 0.684546347752357 × 6371000     		du = 1672.53737371684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81707761)-sin(0.81681513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684354984301183-0.684546347752357)×R²
    abs(0.05522331-0.05483981)×0.000191363451174542×R²
    0.000383499999999995×0.000191363451174542×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191363451174542×40589641000000     		ar = 2796526.56231431m²