Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8336 / 5744
↖ ↑ ↗
← N 47.279229°
E  3.164063°		 ← 1 657.54 m → N 47.279229°
E  3.186035°		 →
↑
1 657.80 m
↓
↑
1 657.80 m
↓
N 47.264320°
E  3.164063°		 ← 1 658.01 m →
2 748 254 m²		 N 47.264320°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508819580078125 y=0.350616455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508819580078125 × 214)
    floor (0.508819580078125 × 16384)
    floor (8336.5)     		tx = 8336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350616455078125 × 214)
    floor (0.350616455078125 × 16384)
    floor (5744.5)     		ty = 5744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8336 / 5744 ti = "14/8336/5744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8336/5744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8336 ÷ 214
    8336 ÷ 16384     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5744 ÷ 214
    5744 ÷ 16384     		y = 0.3505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93879624215918))-π/2
    2×atan(2.5569016746293)-π/2
    2×1.19798727033797-π/2
    2.39597454067595-1.57079632675     		φ = 0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8336 KachelY 5744 0.05522331 0.82517821 3.164063 47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 8337 KachelY 5744 0.05560680 0.82517821 3.186035 47.279229
    Unten links KachelX 8336 KachelY + 1 5745 0.05522331 0.82491800 3.164063 47.264320
    Unten rechts KachelX + 1 8337 KachelY + 1 5745 0.05560680 0.82491800 3.186035 47.264320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82517821-0.82491800) × R
    0.000260209999999983 × 6371000     		dl = 1657.79790999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82517821-0.82491800) × R
    0.000260209999999983 × 6371000     		dr = 1657.79790999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05560680) × cos(0.82517821) × R
    0.00038349 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 1657.54056194238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05560680) × cos(0.82491800) × R
    0.00038349 × 0.678617196260608 × 6371000     		du = 1658.00757065225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82517821)-sin(0.82491800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678617196260608)×R²
    abs(0.05560680-0.05522331)×0.000191145171428264×R²
    0.00038349×0.000191145171428264×6371000²
    0.00038349×0.000191145171428264×40589641000000     		ar = 2748254.39786532m²