Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8344 / 5784
↖ ↑ ↗
← N 46.679595°
E  3.339844°		 ← 1 676.28 m → N 46.679595°
E  3.361817°		 →
↑
1 676.53 m
↓
↑
1 676.53 m
↓
N 46.664517°
E  3.339844°		 ← 1 676.75 m →
2 810 721 m²		 N 46.664517°
E  3.361817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509307861328125 y=0.353057861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509307861328125 × 214)
    floor (0.509307861328125 × 16384)
    floor (8344.5)     		tx = 8344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353057861328125 × 214)
    floor (0.353057861328125 × 16384)
    floor (5784.5)     		ty = 5784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8344 / 5784 ti = "14/8344/5784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8344/5784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8344 ÷ 214
    8344 ÷ 16384     		x = 0.50927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5784 ÷ 214
    5784 ÷ 16384     		y = 0.35302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35302734375 × 2 - 1) × π
    0.2939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923456434280762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05829127} λ = 0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923456434280762))-π/2
    2×atan(2.51797859371336)-π/2
    2×1.19275447184897-π/2
    2.38550894369793-1.57079632675     		φ = 0.81471262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81471262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.679595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8344 KachelY 5784 0.05829127 0.81471262 3.339844 46.679595
    Oben rechts KachelX + 1 8345 KachelY 5784 0.05867477 0.81471262 3.361817 46.679595
    Unten links KachelX 8344 KachelY + 1 5785 0.05829127 0.81444947 3.339844 46.664517
    Unten rechts KachelX + 1 8345 KachelY + 1 5785 0.05867477 0.81444947 3.361817 46.664517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81471262-0.81444947) × R
    0.00026314999999999 × 6371000     		dl = 1676.52864999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81471262-0.81444947) × R
    0.00026314999999999 × 6371000     		dr = 1676.52864999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05829127-0.05867477) × cos(0.81471262) × R
    0.000383500000000002 × 0.686077498914387 × 6371000     		do = 1676.2784024313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05829127-0.05867477) × cos(0.81444947) × R
    0.000383500000000002 × 0.686268924272678 × 6371000     		du = 1676.74610789357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81471262)-sin(0.81444947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686077498914387-0.686268924272678)×R²
    abs(0.05867477-0.05829127)×0.000191425358290642×R²
    0.000383500000000002×0.000191425358290642×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191425358290642×40589641000000     		ar = 2810720.8440762m²