Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8351 / 5791
↖ ↑ ↗
← N 46.573967°
E  3.493653°		 ← 1 679.51 m → N 46.573967°
E  3.515625°		 →
↑
1 679.78 m
↓
↑
1 679.78 m
↓
N 46.558860°
E  3.493653°		 ← 1 679.98 m →
2 821 595 m²		 N 46.558860°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509735107421875 y=0.353485107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509735107421875 × 214)
    floor (0.509735107421875 × 16384)
    floor (8351.5)     		tx = 8351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353485107421875 × 214)
    floor (0.353485107421875 × 16384)
    floor (5791.5)     		ty = 5791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8351 / 5791 ti = "14/8351/5791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8351/5791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8351 ÷ 214
    8351 ÷ 16384     		x = 0.50970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5791 ÷ 214
    5791 ÷ 16384     		y = 0.35345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50970458984375 × 2 - 1) × π
    0.0194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06097574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35345458984375 × 2 - 1) × π
    0.2930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.920771967902039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06097574} λ = 0.06097574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920771967902039))-π/2
    2×atan(2.51122822945294)-π/2
    2×1.19183269654537-π/2
    2.38366539309073-1.57079632675     		φ = 0.81286907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06097574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.493653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81286907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.573967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8351 KachelY 5791 0.06097574 0.81286907 3.493653 46.573967
    Oben rechts KachelX + 1 8352 KachelY 5791 0.06135923 0.81286907 3.515625 46.573967
    Unten links KachelX 8351 KachelY + 1 5792 0.06097574 0.81260541 3.493653 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 8352 KachelY + 1 5792 0.06135923 0.81260541 3.515625 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81286907-0.81260541) × R
    0.000263659999999999 × 6371000     		dl = 1679.77785999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81286907-0.81260541) × R
    0.000263659999999999 × 6371000     		dr = 1679.77785999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06097574-0.06135923) × cos(0.81286907) × R
    0.00038349 × 0.68741756737645 × 6371000     		do = 1679.50876751996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06097574-0.06135923) × cos(0.81260541) × R
    0.00038349 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 1679.97655141275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81286907)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68741756737645-0.687609029827766)×R²
    abs(0.06135923-0.06097574)×0.000191462451316515×R²
    0.00038349×0.000191462451316515×6371000²
    0.00038349×0.000191462451316515×40589641000000     		ar = 2821594.54621492m²