Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8352 / 5792
↖ ↑ ↗
← N 46.558860°
E  3.515625°		 ← 1 680.02 m → N 46.558860°
E  3.537598°		 →
↑
1 680.22 m
↓
↑
1 680.22 m
↓
N 46.543750°
E  3.515625°		 ← 1 680.49 m →
2 823 203 m²		 N 46.543750°
E  3.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509796142578125 y=0.353546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509796142578125 × 214)
    floor (0.509796142578125 × 16384)
    floor (8352.5)     		tx = 8352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353546142578125 × 214)
    floor (0.353546142578125 × 16384)
    floor (5792.5)     		ty = 5792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8352 / 5792 ti = "14/8352/5792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8352/5792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8352 ÷ 214
    8352 ÷ 16384     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5792 ÷ 214
    5792 ÷ 16384     		y = 0.353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353515625 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920388472705078))-π/2
    2×atan(2.51026537012624)-π/2
    2×1.19170086752114-π/2
    2.38340173504229-1.57079632675     		φ = 0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8352 KachelY 5792 0.06135923 0.81260541 3.515625 46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 8353 KachelY 5792 0.06174273 0.81260541 3.537598 46.558860
    Unten links KachelX 8352 KachelY + 1 5793 0.06135923 0.81234168 3.515625 46.543750
    Unten rechts KachelX + 1 8353 KachelY + 1 5793 0.06174273 0.81234168 3.537598 46.543750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81260541-0.81234168) × R
    0.000263730000000018 × 6371000     		dl = 1680.22383000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81260541-0.81234168) × R
    0.000263730000000018 × 6371000     		dr = 1680.22383000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06174273) × cos(0.81260541) × R
    0.000383500000000002 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 1680.02035898405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06174273) × cos(0.81234168) × R
    0.000383500000000002 × 0.68780049529183 × 6371000     		du = 1680.48816243589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81260541)-sin(0.81234168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.68780049529183)×R²
    abs(0.06174273-0.06135923)×0.000191465464063567×R²
    0.000383500000000002×0.000191465464063567×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191465464063567×40589641000000     		ar = 2823203.26566768m²