Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8383 / 5567
↖ ↑ ↗
← N 49.852152°
E  4.196777°		 ← 1 575.33 m → N 49.852152°
E  4.218750°		 →
↑
1 575.55 m
↓
↑
1 575.55 m
↓
N 49.837983°
E  4.196777°		 ← 1 575.80 m →
2 482 378 m²		 N 49.837983°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511688232421875 y=0.339813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511688232421875 × 214)
    floor (0.511688232421875 × 16384)
    floor (8383.5)     		tx = 8383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339813232421875 × 214)
    floor (0.339813232421875 × 16384)
    floor (5567.5)     		ty = 5567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8383 / 5567 ti = "14/8383/5567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8383/5567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8383 ÷ 214
    8383 ÷ 16384     		x = 0.51165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5567 ÷ 214
    5567 ÷ 16384     		y = 0.33978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33978271484375 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07324758} λ = 0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00667489202118))-π/2
    2×atan(2.73648675651958)-π/2
    2×1.22044025629126-π/2
    2.44088051258251-1.57079632675     		φ = 0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8383 KachelY 5567 0.07324758 0.87008419 4.196777 49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 8384 KachelY 5567 0.07363108 0.87008419 4.218750 49.852152
    Unten links KachelX 8383 KachelY + 1 5568 0.07324758 0.86983689 4.196777 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 8384 KachelY + 1 5568 0.07363108 0.86983689 4.218750 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87008419-0.86983689) × R
    0.000247300000000061 × 6371000     		dl = 1575.54830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87008419-0.86983689) × R
    0.000247300000000061 × 6371000     		dr = 1575.54830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07324758-0.07363108) × cos(0.87008419) × R
    0.000383499999999995 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 1575.33361134785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07324758-0.07363108) × cos(0.86983689) × R
    0.000383499999999995 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 1575.7954209218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87008419)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644951208354603)×R²
    abs(0.07363108-0.07324758)×0.000189012252984844×R²
    0.000383499999999995×0.000189012252984844×6371000²
    0.000383499999999995×0.000189012252984844×40589641000000     		ar = 2482378.00758845m²