Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8385 / 5823
↖ ↑ ↗
← N 46.088472°
E  4.240722°		 ← 1 694.53 m → N 46.088472°
E  4.262695°		 →
↑
1 694.75 m
↓
↑
1 694.75 m
↓
N 46.073231°
E  4.240722°		 ← 1 695 m →
2 872 198 m²		 N 46.073231°
E  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511810302734375 y=0.355438232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511810302734375 × 214)
    floor (0.511810302734375 × 16384)
    floor (8385.5)     		tx = 8385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355438232421875 × 214)
    floor (0.355438232421875 × 16384)
    floor (5823.5)     		ty = 5823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8385 / 5823 ti = "14/8385/5823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8385/5823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8385 ÷ 214
    8385 ÷ 16384     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5823 ÷ 214
    5823 ÷ 16384     		y = 0.35540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35540771484375 × 2 - 1) × π
    0.2891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.908500121599304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908500121599304))-π/2
    2×atan(2.48059914468979)-π/2
    2×1.18759595341286-π/2
    2.37519190682572-1.57079632675     		φ = 0.80439558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80439558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.088472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8385 KachelY 5823 0.07401457 0.80439558 4.240722 46.088472
    Oben rechts KachelX + 1 8386 KachelY 5823 0.07439807 0.80439558 4.262695 46.088472
    Unten links KachelX 8385 KachelY + 1 5824 0.07401457 0.80412957 4.240722 46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 8386 KachelY + 1 5824 0.07439807 0.80412957 4.262695 46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80439558-0.80412957) × R
    0.000266010000000039 × 6371000     		dl = 1694.74971000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80439558-0.80412957) × R
    0.000266010000000039 × 6371000     		dr = 1694.74971000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07439807) × cos(0.80439558) × R
    0.000383499999999995 × 0.693546792847638 × 6371000     		do = 1694.52796770857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07439807) × cos(0.80412957) × R
    0.000383499999999995 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 1694.99612954101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80439558)-sin(0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693546792847638-0.693738404991914)×R²
    abs(0.07439807-0.07401457)×0.000191612144275544×R²
    0.000383499999999995×0.000191612144275544×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191612144275544×40589641000000     		ar = 2872197.50736305m²