Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8392 / 5576
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
E  4.394531°		 ← 1 579.45 m → N 49.724479°
E  4.416504°		 →
↑
1 579.69 m
↓
↑
1 579.69 m
↓
N 49.710273°
E  4.394531°		 ← 1 579.91 m →
2 495 406 m²		 N 49.710273°
E  4.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512237548828125 y=0.340362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512237548828125 × 214)
    floor (0.512237548828125 × 16384)
    floor (8392.5)     		tx = 8392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340362548828125 × 214)
    floor (0.340362548828125 × 16384)
    floor (5576.5)     		ty = 5576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8392 / 5576 ti = "14/8392/5576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8392/5576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8392 ÷ 214
    8392 ÷ 16384     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5576 ÷ 214
    5576 ÷ 16384     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8392 KachelY 5576 0.07669904 0.86785588 4.394531 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 8393 KachelY 5576 0.07708253 0.86785588 4.416504 49.724479
    Unten links KachelX 8392 KachelY + 1 5577 0.07669904 0.86760793 4.394531 49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 8393 KachelY + 1 5577 0.07708253 0.86760793 4.416504 49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86760793) × R
    0.000247949999999997 × 6371000     		dl = 1579.68944999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86760793) × R
    0.000247949999999997 × 6371000     		dr = 1579.68944999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07708253) × cos(0.86785588) × R
    0.00038349 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 1579.45010482929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07708253) × cos(0.86760793) × R
    0.00038349 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 1579.91224437601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.646653028969264)×R²
    abs(0.07708253-0.07669904)×0.000189152238519563×R²
    0.00038349×0.000189152238519563×6371000²
    0.00038349×0.000189152238519563×40589641000000     		ar = 2495405.69866957m²