Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8400 / 5584
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  4.570312°		 ← 1 583.19 m → N 49.610710°
E  4.592285°		 →
↑
1 583.38 m
↓
↑
1 583.38 m
↓
N 49.596470°
E  4.570312°		 ← 1 583.65 m →
2 507 164 m²		 N 49.596470°
E  4.592285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512725830078125 y=0.340850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512725830078125 × 214)
    floor (0.512725830078125 × 16384)
    floor (8400.5)     		tx = 8400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340850830078125 × 214)
    floor (0.340850830078125 × 16384)
    floor (5584.5)     		ty = 5584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8400 / 5584 ti = "14/8400/5584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8400/5584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8400 ÷ 214
    8400 ÷ 16384     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5584 ÷ 214
    5584 ÷ 16384     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8400 KachelY 5584 0.07976700 0.86587023 4.570312 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 8401 KachelY 5584 0.08015050 0.86587023 4.592285 49.610710
    Unten links KachelX 8400 KachelY + 1 5585 0.07976700 0.86562170 4.570312 49.596470
    Unten rechts KachelX + 1 8401 KachelY + 1 5585 0.08015050 0.86562170 4.592285 49.596470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86562170) × R
    0.000248529999999914 × 6371000     		dl = 1583.38462999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86562170) × R
    0.000248529999999914 × 6371000     		dr = 1583.38462999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.08015050) × cos(0.86587023) × R
    0.000383499999999995 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 1583.18959741646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.08015050) × cos(0.86562170) × R
    0.000383499999999995 × 0.648166817438432 × 6371000     		du = 1583.65204946073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86562170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.648166817438432)×R²
    abs(0.08015050-0.07976700)×0.000189275207170603×R²
    0.000383499999999995×0.000189275207170603×6371000²
    0.000383499999999995×0.000189275207170603×40589641000000     		ar = 2507164.20755982m²