Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8416 / 5600
↖ ↑ ↗
← N 49.382373°
E  4.921875°		 ← 1 590.59 m → N 49.382373°
E  4.943848°		 →
↑
1 590.84 m
↓
↑
1 590.84 m
↓
N 49.368066°
E  4.921875°		 ← 1 591.06 m →
2 530 746 m²		 N 49.368066°
E  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513702392578125 y=0.341827392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513702392578125 × 214)
    floor (0.513702392578125 × 16384)
    floor (8416.5)     		tx = 8416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341827392578125 × 214)
    floor (0.341827392578125 × 16384)
    floor (5600.5)     		ty = 5600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8416 / 5600 ti = "14/8416/5600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8416/5600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8416 ÷ 214
    8416 ÷ 16384     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5600 ÷ 214
    5600 ÷ 16384     		y = 0.341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341796875 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994019550521484))-π/2
    2×atan(2.70207379528506)-π/2
    2×1.21634066217848-π/2
    2.43268132435697-1.57079632675     		φ = 0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8416 KachelY 5600 0.08590292 0.86188500 4.921875 49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 8417 KachelY 5600 0.08628642 0.86188500 4.943848 49.382373
    Unten links KachelX 8416 KachelY + 1 5601 0.08590292 0.86163530 4.921875 49.368066
    Unten rechts KachelX + 1 8417 KachelY + 1 5601 0.08628642 0.86163530 4.943848 49.368066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86188500-0.86163530) × R
    0.000249700000000019 × 6371000     		dl = 1590.83870000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86188500-0.86163530) × R
    0.000249700000000019 × 6371000     		dr = 1590.83870000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08628642) × cos(0.86188500) × R
    0.000383500000000009 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 1590.59330402364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08628642) × cos(0.86163530) × R
    0.000383500000000009 × 0.651197296397375 × 6371000     		du = 1591.05635354587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86188500)-sin(0.86163530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.651197296397375)×R²
    abs(0.08628642-0.08590292)×0.000189519746616185×R²
    0.000383500000000009×0.000189519746616185×6371000²
    0.000383500000000009×0.000189519746616185×40589641000000     		ar = 2530745.71570254m²