Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8479 / 5409
↖ ↑ ↗
← N 52.038977°
E  6.306152°		 ← 1 502.92 m → N 52.038977°
E  6.328125°		 →
↑
1 503.11 m
↓
↑
1 503.11 m
↓
N 52.025459°
E  6.306152°		 ← 1 503.38 m →
2 259 399 m²		 N 52.025459°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517547607421875 y=0.330169677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517547607421875 × 214)
    floor (0.517547607421875 × 16384)
    floor (8479.5)     		tx = 8479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330169677734375 × 214)
    floor (0.330169677734375 × 16384)
    floor (5409.5)     		ty = 5409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8479 / 5409 ti = "14/8479/5409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8479/5409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8479 ÷ 214
    8479 ÷ 16384     		x = 0.51751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5409 ÷ 214
    5409 ÷ 16384     		y = 0.33013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51751708984375 × 2 - 1) × π
    0.0350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11006312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33013916015625 × 2 - 1) × π
    0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11006312} λ = 0.11006312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06726713314093))-π/2
    2×atan(2.90742303289445)-π/2
    2×1.23952390375952-π/2
    2.47904780751904-1.57079632675     		φ = 0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11006312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8479 KachelY 5409 0.11006312 0.90825148 6.306152 52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 8480 KachelY 5409 0.11044662 0.90825148 6.328125 52.038977
    Unten links KachelX 8479 KachelY + 1 5410 0.11006312 0.90801555 6.306152 52.025459
    Unten rechts KachelX + 1 8480 KachelY + 1 5410 0.11044662 0.90801555 6.328125 52.025459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90825148-0.90801555) × R
    0.000235929999999995 × 6371000     		dl = 1503.11002999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90825148-0.90801555) × R
    0.000235929999999995 × 6371000     		dr = 1503.11002999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11006312-0.11044662) × cos(0.90825148) × R
    0.000383499999999995 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 1502.9223559286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11006312-0.11044662) × cos(0.90801555) × R
    0.000383499999999995 × 0.615311270678919 × 6371000     		du = 1503.37679845746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90825148)-sin(0.90801555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615311270678919)×R²
    abs(0.11044662-0.11006312)×0.000185997023615103×R²
    0.000383499999999995×0.000185997023615103×6371000²
    0.000383499999999995×0.000185997023615103×40589641000000     		ar = 2259399.21654996m²