Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8504 / 5480
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  6.855469°		 ← 1 535.32 m → N 51.069017°
E  6.877442°		 →
↑
1 535.54 m
↓
↑
1 535.54 m
↓
N 51.055207°
E  6.855469°		 ← 1 535.77 m →
2 357 889 m²		 N 51.055207°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519073486328125 y=0.334503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519073486328125 × 214)
    floor (0.519073486328125 × 16384)
    floor (8504.5)     		tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334503173828125 × 214)
    floor (0.334503173828125 × 16384)
    floor (5480.5)     		ty = 5480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 5480 ti = "14/8504/5480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/5480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5480 ÷ 214
    5480 ÷ 16384     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 5480 0.11965050 0.89132249 6.855469 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 5480 0.12003400 0.89132249 6.877442 51.069017
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 5481 0.11965050 0.89108147 6.855469 51.055207
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 5481 0.12003400 0.89108147 6.877442 51.055207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.89108147) × R
    0.000241019999999925 × 6371000     		dl = 1535.53841999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.89108147) × R
    0.000241019999999925 × 6371000     		dr = 1535.53841999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.89132249) × R
    0.000383499999999995 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 1535.31664500884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.89108147) × R
    0.000383499999999995 × 0.628571278881721 × 6371000     		du = 1535.77469140919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.89108147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628571278881721)×R²
    abs(0.12003400-0.11965050)×0.000187472038228886×R²
    0.000383499999999995×0.000187472038228886×6371000²
    0.000383499999999995×0.000187472038228886×40589641000000     		ar = 2357889.38061376m²