Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8504 / 5528
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  6.855469°		 ← 1 557.35 m → N 50.401515°
E  6.877442°		 →
↑
1 557.58 m
↓
↑
1 557.58 m
↓
N 50.387508°
E  6.855469°		 ← 1 557.81 m →
2 426 066 m²		 N 50.387508°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519073486328125 y=0.337432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519073486328125 × 214)
    floor (0.519073486328125 × 16384)
    floor (8504.5)     		tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337432861328125 × 214)
    floor (0.337432861328125 × 16384)
    floor (5528.5)     		ty = 5528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 5528 ti = "14/8504/5528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/5528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5528 ÷ 214
    5528 ÷ 16384     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 5528 0.11965050 0.87967239 6.855469 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 5528 0.12003400 0.87967239 6.877442 50.401515
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 5529 0.11965050 0.87942791 6.855469 50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 5529 0.12003400 0.87942791 6.877442 50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87942791) × R
    0.000244479999999991 × 6371000     		dl = 1557.58207999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87942791) × R
    0.000244479999999991 × 6371000     		dr = 1557.58207999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.87967239) × R
    0.000383499999999995 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 1557.3545404502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.87942791) × R
    0.000383499999999995 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 1557.81475675037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637591971914127)×R²
    abs(0.12003400-0.11965050)×0.000188360148125954×R²
    0.000383499999999995×0.000188360148125954×6371000²
    0.000383499999999995×0.000188360148125954×40589641000000     		ar = 2426065.94882653m²