Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8522 / 5498
↖ ↑ ↗
← N 50.819818°
E  7.250976°		 ← 1 543.57 m → N 50.819818°
E  7.272949°		 →
↑
1 543.76 m
↓
↑
1 543.76 m
↓
N 50.805935°
E  7.250976°		 ← 1 544.03 m →
2 383 249 m²		 N 50.805935°
E  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520172119140625 y=0.335601806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520172119140625 × 214)
    floor (0.520172119140625 × 16384)
    floor (8522.5)     		tx = 8522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335601806640625 × 214)
    floor (0.335601806640625 × 16384)
    floor (5498.5)     		ty = 5498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8522 / 5498 ti = "14/8522/5498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8522/5498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8522 ÷ 214
    8522 ÷ 16384     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5498 ÷ 214
    5498 ÷ 16384     		y = 0.3355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3355712890625 × 2 - 1) × π
    0.328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03313606061145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03313606061145))-π/2
    2×atan(2.80986393541122)-π/2
    2×1.22888474035801-π/2
    2.45776948071602-1.57079632675     		φ = 0.88697315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88697315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8522 KachelY 5498 0.12655341 0.88697315 7.250976 50.819818
    Oben rechts KachelX + 1 8523 KachelY 5498 0.12693691 0.88697315 7.272949 50.819818
    Unten links KachelX 8522 KachelY + 1 5499 0.12655341 0.88673084 7.250976 50.805935
    Unten rechts KachelX + 1 8523 KachelY + 1 5499 0.12693691 0.88673084 7.272949 50.805935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88697315-0.88673084) × R
    0.000242309999999968 × 6371000     		dl = 1543.75700999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88697315-0.88673084) × R
    0.000242309999999968 × 6371000     		dr = 1543.75700999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(0.88697315) × R
    0.000383499999999981 × 0.631761219323209 × 6371000     		do = 1543.56860430611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(0.88673084) × R
    0.000383499999999981 × 0.631949030534559 × 6371000     		du = 1544.02747940086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88697315)-sin(0.88673084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631761219323209-0.631949030534559)×R²
    abs(0.12693691-0.12655341)×0.00018781121134992×R²
    0.000383499999999981×0.00018781121134992×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018781121134992×40589641000000     		ar = 2383249.06079526m²