Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8544 / 5344
↖ ↑ ↗
← N 52.908902°
E  7.734375°		 ← 1 473.46 m → N 52.908902°
E  7.756347°		 →
↑
1 473.68 m
↓
↑
1 473.68 m
↓
N 52.895649°
E  7.734375°		 ← 1 473.91 m →
2 171 741 m²		 N 52.895649°
E  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521514892578125 y=0.326202392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521514892578125 × 214)
    floor (0.521514892578125 × 16384)
    floor (8544.5)     		tx = 8544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326202392578125 × 214)
    floor (0.326202392578125 × 16384)
    floor (5344.5)     		ty = 5344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8544 / 5344 ti = "14/8544/5344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8544/5344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8544 ÷ 214
    8544 ÷ 16384     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5344 ÷ 214
    5344 ÷ 16384     		y = 0.326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326171875 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09219432094336))-π/2
    2×atan(2.98080775032309)-π/2
    2×1.24711543556242-π/2
    2.49423087112483-1.57079632675     		φ = 0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8544 KachelY 5344 0.13499031 0.92343454 7.734375 52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 8545 KachelY 5344 0.13537380 0.92343454 7.756347 52.908902
    Unten links KachelX 8544 KachelY + 1 5345 0.13499031 0.92320323 7.734375 52.895649
    Unten rechts KachelX + 1 8545 KachelY + 1 5345 0.13537380 0.92320323 7.756347 52.895649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92343454-0.92320323) × R
    0.000231309999999985 × 6371000     		dl = 1473.6760099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92343454-0.92320323) × R
    0.000231309999999985 × 6371000     		dr = 1473.6760099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13537380) × cos(0.92343454) × R
    0.000383489999999986 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 1473.46390302893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13537380) × cos(0.92320323) × R
    0.000383489999999986 × 0.603268557962866 × 6371000     		du = 1473.91466315679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92343454)-sin(0.92320323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.603268557962866)×R²
    abs(0.13537380-0.13499031)×0.000184494678775238×R²
    0.000383489999999986×0.000184494678775238×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184494678775238×40589641000000     		ar = 2171740.5523706m²