Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8578 / 6018
↖ ↑ ↗
← N 43.036776°
E  8.481446°		 ← 1 785.78 m → N 43.036776°
E  8.503418°		 →
↑
1 786.05 m
↓
↑
1 786.05 m
↓
N 43.020714°
E  8.481446°		 ← 1 786.25 m →
3 189 911 m²		 N 43.020714°
E  8.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523590087890625 y=0.367340087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523590087890625 × 214)
    floor (0.523590087890625 × 16384)
    floor (8578.5)     		tx = 8578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367340087890625 × 214)
    floor (0.367340087890625 × 16384)
    floor (6018.5)     		ty = 6018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8578 / 6018 ti = "14/8578/6018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8578/6018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8578 ÷ 214
    8578 ÷ 16384     		x = 0.5235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6018 ÷ 214
    6018 ÷ 16384     		y = 0.3673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5235595703125 × 2 - 1) × π
    0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14802915} λ = 0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833718558192017))-π/2
    2×atan(2.30186245475748)-π/2
    2×1.1609648824678-π/2
    2.32192976493559-1.57079632675     		φ = 0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8578 KachelY 6018 0.14802915 0.75113344 8.481446 43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 8579 KachelY 6018 0.14841264 0.75113344 8.503418 43.036776
    Unten links KachelX 8578 KachelY + 1 6019 0.14802915 0.75085310 8.481446 43.020714
    Unten rechts KachelX + 1 8579 KachelY + 1 6019 0.14841264 0.75085310 8.503418 43.020714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75113344-0.75085310) × R
    0.00028033999999999 × 6371000     		dl = 1786.04613999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75113344-0.75085310) × R
    0.00028033999999999 × 6371000     		dr = 1786.04613999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14802915-0.14841264) × cos(0.75113344) × R
    0.000383490000000014 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 1785.78429868758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14802915-0.14841264) × cos(0.75085310) × R
    0.000383490000000014 × 0.731107096664076 × 6371000     		du = 1786.2516716437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75113344)-sin(0.75085310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.731107096664076)×R²
    abs(0.14841264-0.14802915)×0.000191294256250196×R²
    0.000383490000000014×0.000191294256250196×6371000²
    0.000383490000000014×0.000191294256250196×40589641000000     		ar = 3189910.54926677m²