Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8836 / 5764
↖ ↑ ↗
← N 46.980253°
E 14.150391°		 ← 1 666.88 m → N 46.980253°
E 14.172363°		 →
↑
1 667.16 m
↓
↑
1 667.16 m
↓
N 46.965259°
E 14.150391°		 ← 1 667.35 m →
2 779 358 m²		 N 46.965259°
E 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539337158203125 y=0.351837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539337158203125 × 214)
    floor (0.539337158203125 × 16384)
    floor (8836.5)     		tx = 8836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351837158203125 × 214)
    floor (0.351837158203125 × 16384)
    floor (5764.5)     		ty = 5764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8836 / 5764 ti = "14/8836/5764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8836/5764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8836 ÷ 214
    8836 ÷ 16384     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5764 ÷ 214
    5764 ÷ 16384     		y = 0.351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351806640625 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931126338219971))-π/2
    2×atan(2.5373655004643)-π/2
    2×1.19537820689656-π/2
    2.39075641379313-1.57079632675     		φ = 0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8836 KachelY 5764 0.24697091 0.81996009 14.150391 46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 8837 KachelY 5764 0.24735440 0.81996009 14.172363 46.980253
    Unten links KachelX 8836 KachelY + 1 5765 0.24697091 0.81969841 14.150391 46.965259
    Unten rechts KachelX + 1 8837 KachelY + 1 5765 0.24735440 0.81969841 14.172363 46.965259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81996009-0.81969841) × R
    0.000261680000000042 × 6371000     		dl = 1667.16328000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81996009-0.81969841) × R
    0.000261680000000042 × 6371000     		dr = 1667.16328000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24735440) × cos(0.81996009) × R
    0.000383490000000014 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 1666.88423545036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24735440) × cos(0.81969841) × R
    0.000383490000000014 × 0.682441682528822 × 6371000     		du = 1667.35161206696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81996009)-sin(0.81969841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682441682528822)×R²
    abs(0.24735440-0.24697091)×0.00019129575447574×R²
    0.000383490000000014×0.00019129575447574×6371000²
    0.000383490000000014×0.00019129575447574×40589641000000     		ar = 2779357.80178041m²