Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9727 / 4609
↖ ↑ ↗
← N 61.595946°
E 33.728027°		 ← 1 162.20 m → N 61.595946°
E 33.750000°		 →
↑
1 162.39 m
↓
↑
1 162.39 m
↓
N 61.585492°
E 33.728027°		 ← 1 162.60 m →
1 351 161 m²		 N 61.585492°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593719482421875 y=0.281341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593719482421875 × 214)
    floor (0.593719482421875 × 16384)
    floor (9727.5)     		tx = 9727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281341552734375 × 214)
    floor (0.281341552734375 × 16384)
    floor (4609.5)     		ty = 4609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9727 / 4609 ti = "14/9727/4609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9727/4609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9727 ÷ 214
    9727 ÷ 16384     		x = 0.59368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4609 ÷ 214
    4609 ÷ 16384     		y = 0.28131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28131103515625 × 2 - 1) × π
    0.4373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37406329070929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58866513} λ = 0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37406329070929))-π/2
    2×atan(3.9513737004073)-π/2
    2×1.3229241955218-π/2
    2.64584839104359-1.57079632675     		φ = 1.07505206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07505206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.595946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9727 KachelY 4609 0.58866513 1.07505206 33.728027 61.595946
    Oben rechts KachelX + 1 9728 KachelY 4609 0.58904862 1.07505206 33.750000 61.595946
    Unten links KachelX 9727 KachelY + 1 4610 0.58866513 1.07486961 33.728027 61.585492
    Unten rechts KachelX + 1 9728 KachelY + 1 4610 0.58904862 1.07486961 33.750000 61.585492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07505206-1.07486961) × R
    0.000182450000000056 × 6371000     		dl = 1162.38895000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07505206-1.07486961) × R
    0.000182450000000056 × 6371000     		dr = 1162.38895000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58866513-0.58904862) × cos(1.07505206) × R
    0.000383490000000042 × 0.475686451133903 × 6371000     		do = 1162.20417281309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58866513-0.58904862) × cos(1.07486961) × R
    0.000383490000000042 × 0.475846928957086 × 6371000     		du = 1162.59625460416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07505206)-sin(1.07486961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475686451133903-0.475846928957086)×R²
    abs(0.58904862-0.58866513)×0.000160477823182903×R²
    0.000383490000000042×0.000160477823182903×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160477823182903×40589641000000     		ar = 1351161.16764136m²