Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9730 / 4610
↖ ↑ ↗
← N 61.585492°
E 33.793945°		 ← 1 162.63 m → N 61.585492°
E 33.815918°		 →
↑
1 162.83 m
↓
↑
1 162.83 m
↓
N 61.575035°
E 33.793945°		 ← 1 163.02 m →
1 352 171 m²		 N 61.575035°
E 33.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593902587890625 y=0.281402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593902587890625 × 214)
    floor (0.593902587890625 × 16384)
    floor (9730.5)     		tx = 9730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281402587890625 × 214)
    floor (0.281402587890625 × 16384)
    floor (4610.5)     		ty = 4610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9730 / 4610 ti = "14/9730/4610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9730/4610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9730 ÷ 214
    9730 ÷ 16384     		x = 0.5938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4610 ÷ 214
    4610 ÷ 16384     		y = 0.2813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    0.437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37367979551233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58981561} λ = 0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37367979551233))-π/2
    2×atan(3.94985865809609)-π/2
    2×1.32283296840251-π/2
    2.64566593680503-1.57079632675     		φ = 1.07486961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07486961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.585492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9730 KachelY 4610 0.58981561 1.07486961 33.793945 61.585492
    Oben rechts KachelX + 1 9731 KachelY 4610 0.59019911 1.07486961 33.815918 61.585492
    Unten links KachelX 9730 KachelY + 1 4611 0.58981561 1.07468709 33.793945 61.575035
    Unten rechts KachelX + 1 9731 KachelY + 1 4611 0.59019911 1.07468709 33.815918 61.575035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07486961-1.07468709) × R
    0.000182519999999853 × 6371000     		dl = 1162.83491999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07486961-1.07468709) × R
    0.000182519999999853 × 6371000     		dr = 1162.83491999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58981561-0.59019911) × cos(1.07486961) × R
    0.000383499999999981 × 0.475846928957086 × 6371000     		do = 1162.62657081182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58981561-0.59019911) × cos(1.07468709) × R
    0.000383499999999981 × 0.476007452501163 × 6371000     		du = 1163.01877453581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07486961)-sin(1.07468709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475846928957086-0.476007452501163)×R²
    abs(0.59019911-0.58981561)×0.000160523544077418×R²
    0.000383499999999981×0.000160523544077418×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160523544077418×40589641000000     		ar = 1352170.81330437m²