Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9744 / 4624
↖ ↑ ↗
← N 61.438767°
E 34.101563°		 ← 1 168.10 m → N 61.438767°
E 34.123535°		 →
↑
1 168.31 m
↓
↑
1 168.31 m
↓
N 61.428261°
E 34.101563°		 ← 1 168.49 m →
1 364 932 m²		 N 61.428261°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594757080078125 y=0.282257080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594757080078125 × 214)
    floor (0.594757080078125 × 16384)
    floor (9744.5)     		tx = 9744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282257080078125 × 214)
    floor (0.282257080078125 × 16384)
    floor (4624.5)     		ty = 4624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9744 / 4624 ti = "14/9744/4624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9744/4624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9744 ÷ 214
    9744 ÷ 16384     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4624 ÷ 214
    4624 ÷ 16384     		y = 0.2822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36831086275488))-π/2
    2×atan(3.92870895901954)-π/2
    2×1.32155255395411-π/2
    2.64310510790823-1.57079632675     		φ = 1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9744 KachelY 4624 0.59518455 1.07230878 34.101563 61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 9745 KachelY 4624 0.59556804 1.07230878 34.123535 61.438767
    Unten links KachelX 9744 KachelY + 1 4625 0.59518455 1.07212540 34.101563 61.428261
    Unten rechts KachelX + 1 9745 KachelY + 1 4625 0.59556804 1.07212540 34.123535 61.428261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07230878-1.07212540) × R
    0.000183379999999955 × 6371000     		dl = 1168.31397999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07230878-1.07212540) × R
    0.000183379999999955 × 6371000     		dr = 1168.31397999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(1.07230878) × R
    0.000383489999999931 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 1168.095342888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(1.07212540) × R
    0.000383489999999931 × 0.478258744042212 × 6371000     		du = 1168.48883689055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07230878)-sin(1.07212540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.478258744042212)×R²
    abs(0.59556804-0.59518455)×0.000161055836823798×R²
    0.000383489999999931×0.000161055836823798×6371000²
    0.000383489999999931×0.000161055836823798×40589641000000     		ar = 1364931.98516596m²