Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9792 / 6720
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
E 35.156250°		 ← 2 099.69 m → N 30.751278°
E 35.178223°		 →
↑
2 099.95 m
↓
↑
2 099.95 m
↓
N 30.732393°
E 35.156250°		 ← 2 100.10 m →
4 409 659 m²		 N 30.732393°
E 35.178223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597686767578125 y=0.410186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597686767578125 × 214)
    floor (0.597686767578125 × 16384)
    floor (9792.5)     		tx = 9792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410186767578125 × 214)
    floor (0.410186767578125 × 16384)
    floor (6720.5)     		ty = 6720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9792 / 6720 ti = "14/9792/6720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9792/6720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9792 ÷ 214
    9792 ÷ 16384     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6720 ÷ 214
    6720 ÷ 16384     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9792 KachelY 6720 0.61359232 0.53671105 35.156250 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 9793 KachelY 6720 0.61397581 0.53671105 35.178223 30.751278
    Unten links KachelX 9792 KachelY + 1 6721 0.61359232 0.53638144 35.156250 30.732393
    Unten rechts KachelX + 1 9793 KachelY + 1 6721 0.61397581 0.53638144 35.178223 30.732393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.53638144) × R
    0.00032960999999998 × 6371000     		dl = 2099.94530999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.53638144) × R
    0.00032960999999998 × 6371000     		dr = 2099.94530999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(0.53671105) × R
    0.000383490000000042 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 2099.68659128452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(0.53638144) × R
    0.000383490000000042 × 0.859563493835188 × 6371000     		du = 2100.09824108243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.53638144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.859563493835188)×R²
    abs(0.61397581-0.61359232)×0.000168486945806512×R²
    0.000383490000000042×0.000168486945806512×6371000²
    0.000383490000000042×0.000168486945806512×40589641000000     		ar = 4409659.27079137m²