Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 66 / 42
↖	↑			↗
←	`N 52.482780° E 5.625000°`	← 190.456 km →	`N 52.482780° E 8.437500°`	→
	↑ 194.183 km ↓		↑ 194.183 km ↓
	`N 50.736455° E 5.625000°`	← 197.927 km → 37 711.5 km²	`N 50.736455° E 8.437500°`
↙	↓			↘

Die Berechnung

Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:

Name	Parameter	Wert	Wertebereich	Erklärung zum Wertebereich
Länge in Grad	`lon`	6.8655°	-180°…+180°	Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2atan(exp(pi())) 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2Math.atan(Math.exp(Math.PI)) 180/Math.PI - 90.
Breite in Grad	`lat`	51.1578°	-85°…+85°
Vergrößerungsstufe	`zoom`	7	0…	Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.

Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (λ)	Länge in Grad × π ÷ 180°	6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180	λ = 0.119825579792246
Breite (φ)	Breite in Grad × π ÷ 180°	51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180	φ = 0.892872048051235

Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (Λ)	λ (unverändert)	0.119825579792246}	Λ = 0.119825579792246}
Breite (Φ)	log (tan φ + sec φ) = log (tan φ + 1/cos φ)	log (tan 0.892872048051235 + 1/cos 0.892872048051235) = log 1.24187500346969 + 1/0.627177646342629) = log 1.24187500346969 + 1.59444458174088) = log 2.83631958521056	Φ = 1.04250729104121

Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	(1 + Λ/π) ÷ 2	(1 + 0.119825579792246/3.1415926535) ÷ 2	x = 0.519070833333333
Y-Position (y)	(1 - Φ/π) ÷ 2	(1 - 1.04250729104121/3.1415926535) ÷ 2	y = 0.334079811416708

Aus der Kartenposition x=0.519070833333333 y=0.334079811416708 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Kachel-X (tx)	floor (x × 2^zoom)	floor (0.519070833333333 × 2⁷) floor (0.519070833333333 × 128) floor (66.4410666666667)	tx = 66
Kachel-Y (ty)	floor (y × 2^zoom)	floor (0.334079811416708 × 2⁷) floor (0.334079811416708 × 128) floor (42.7622158613386)	ty = 42
Kachel-Pfad (ti)	"zoom/tx/tz"	7 / 66 / 42	ti = "7/66/42"

Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/66/42.png und Kaffeepause.

Aus den Nachkommastellen 0.441066666666671 und 0.762215861338575 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Marker-X (px)	floor (fract (x × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.519070833333333 × 2⁷) × 256) floor (fract (0.519070833333333 × 128) × 256) floor (fract (66.4410666666667) × 256) floor (0.441066666666671 × 256) floor (112.913066666668)	px = 112
Marker-Y (py)	floor (fract (y × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.334079811416708 × 2⁷) × 256) floor (fract (0.334079811416708 × 128) × 256) floor (fract (42.7622158613386) × 256) floor (0.762215861338575 × 256) floor (195.127260502675)	py = 195

Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	tx ÷ 2^tz	66 ÷ 2⁷ 66 ÷ 128	x = 0.515625
Y-Position (y)	ty ÷ 2^tz	42 ÷ 2⁷ 42 ÷ 128	y = 0.328125
Länge (Λ) (Merkator)	+(x × 2 - 1) × π	+(0.515625 × 2 - 1) × π 0.03125 × 3.1415926535	Λ = 0.09817477
Breite (Φ) (Merkator)	-(y × 2 - 1) × π	-(0.328125 × 2 - 1) × π 0.34375 × 3.1415926535	Φ = 1.07992247464063
Länge (λ)	Λ (unverändert)	0.09817477}	λ = 0.09817477}
Breite (φ)	2×atan(exp(Φ))-π/2	2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2 2×atan(2.94445127257388)-π/2 2×1.24339682112596-π/2 2.48679364225192-1.57079632675	φ = 0.91599732
Länge in Grad	λ ÷ π × 180°	0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180°	lon = 5.625000°
Breite in Grad	φ ÷ π × 180°	0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180°	lat = 52.482780°

Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:

Ecke	tx		ty		λ	φ	Länge in Grad	Breite in Grad
Oben links	KachelX	66	KachelY	42	0.09817477	0.91599732	5.625000	52.482780
Oben rechts	KachelX + 1	67	KachelY	42	0.14726216	0.91599732	8.437500	52.482780
Unten links	KachelX	66	KachelY + 1	43	0.09817477	0.88551819	5.625000	50.736455
Unten rechts	KachelX + 1	67	KachelY + 1	43	0.14726216	0.88551819	8.437500	50.736455

Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Linke Seite	abs(φ_OL-φ_UL) × R	abs(0.91599732-0.88551819) × R 0.03047913 × 6371000	dl = 194182.53723m
Rechte Seite	abs(φ_OR-φ_UR) × R	abs(0.91599732-0.88551819) × R 0.03047913 × 6371000	dr = 194182.53723m
Obere Seite	abs(λ_OL-λ_OR) × cos(φ_OL) × R	abs(0.09817477-0.14726216) × cos(0.91599732) × R 0.04908739 × 0.608999833781129 × 6371000	do = 190456.026886625m
Untere Seite	abs(λ_UL-λ_UR) × cos(φ_UL) × R	abs(0.09817477-0.14726216) × cos(0.88551819) × R 0.04908739 × 0.632888381473458 × 6371000	du = 197926.830044853m

Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Fläche	abs(λ₁-λ₂)×abs(sinφ₁-sinφ₂)×R²	abs(λ₁-λ₂)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.88551819))×R² abs(λ₁-λ₂)×abs(0.608999833781129-0.632888381473458)×R² abs(0.14726216-0.09817477)×0.0238885476923291×R² 0.04908739×0.0238885476923291×6371000² 0.04908739×0.0238885476923291×40589641000000	ar = 37711503760.7823m²