Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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← N  0.000000°
W 90.000000°		 ← 10 007.543 km → N  0.000000°
E  0.000000°		 →
↑
7 395.937 km
↓
↑
7 395.937 km
↓
S 66.513260°
W 90.000000°		 ← 3 988.374 km →
58 475 853 km²		 S 66.513260°
E  0.000000°
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Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 2 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375 y=0.625 und der Vergrößerungsstufe zoom=2 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375 × 22)
    floor (0.375 × 4)
    floor (1.5)     		tx = 1
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625 × 22)
    floor (0.625 × 4)
    floor (2.5)     		ty = 2
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 2 / 1 / 2 ti = "2/1/2"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/2/1/2.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1 ÷ 22
    1 ÷ 4     		x = 0.25
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2 ÷ 22
    2 ÷ 4     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Λ = -1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57079633} λ = -1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1 KachelY 2 -1.57079633 0.00000000 -90.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 2 KachelY 2 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Unten links KachelX 1 KachelY + 1 3 -1.57079633 -1.16087539 -90.000000 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 2 KachelY + 1 3 0.00000000 -1.16087539 0.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--1.16087539) × R
    1.16087539 × 6371000     		dl = 7395937.10969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--1.16087539) × R
    1.16087539 × 6371000     		dr = 7395937.10969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57079633-0.00000000) × cos(0.00000000) × R
    1.57079633 × 1 × 6371000     		do = 10007543.41843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57079633-0.00000000) × cos(-1.16087539) × R
    1.57079633 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 3988374.49223384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.398536816226928)×R²
    abs(0.00000000--1.57079633)×0.601463183773072×R²
    1.57079633×0.601463183773072×6371000²
    1.57079633×0.601463183773072×40589641000000     		ar = 58475852813818.4m²