Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101183 / 98111
↖ ↑ ↗
← S 66.301102°
E 97.907410°		 ← 122.76 m → S 66.301102°
E 97.910156°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
S 66.302206°
E 97.907410°		 ← 122.75 m →
15 071 m²		 S 66.302206°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771968841552734 y=0.748531341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771968841552734 × 217)
    floor (0.771968841552734 × 131072)
    floor (101183.5)     		tx = 101183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748531341552734 × 217)
    floor (0.748531341552734 × 131072)
    floor (98111.5)     		ty = 98111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101183 / 98111 ti = "17/101183/98111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101183/98111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101183 ÷ 217
    101183 ÷ 131072     		x = 0.771965026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98111 ÷ 217
    98111 ÷ 131072     		y = 0.748527526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771965026855469 × 2 - 1) × π
    0.543930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70880666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748527526855469 × 2 - 1) × π
    -0.497055053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56154450512333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70880666} λ = 1.70880666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56154450512333))-π/2
    2×atan(0.209811765472597)-π/2
    2×0.206811903393153-π/2
    0.413623806786305-1.57079632675     		φ = -1.15717252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70880666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.907410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15717252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.301102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101183 KachelY 98111 1.70880666 -1.15717252 97.907410 -66.301102
    Oben rechts KachelX + 1 101184 KachelY 98111 1.70885460 -1.15717252 97.910156 -66.301102
    Unten links KachelX 101183 KachelY + 1 98112 1.70880666 -1.15719179 97.907410 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 101184 KachelY + 1 98112 1.70885460 -1.15719179 97.910156 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15717252--1.15719179) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15717252--1.15719179) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15717252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401930172118802 × 6371000     		do = 122.759820247632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15719179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 122.754430997711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15717252)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401930172118802-0.401912527077093)×R²
    abs(1.70885460-1.70880666)×1.76450417092022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76450417092022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76450417092022e-05×40589641000000     		ar = 15070.7904246156m²