Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1047 / 665
↖ ↑ ↗
← N 53.225769°
E  4.042969°		 ← 11.701 km → N 53.225769°
E  4.218750°		 →
↑
11.716 km
↓
↑
11.716 km
↓
N 53.120405°
E  4.042969°		 ← 11.730 km →
137.262 km²		 N 53.120405°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511474609375 y=0.324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511474609375 × 211)
    floor (0.511474609375 × 2048)
    floor (1047.5)     		tx = 1047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324951171875 × 211)
    floor (0.324951171875 × 2048)
    floor (665.5)     		ty = 665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1047 / 665 ti = "11/1047/665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1047/665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1047 ÷ 211
    1047 ÷ 2048     		x = 0.51123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 665 ÷ 211
    665 ÷ 2048     		y = 0.32470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51123046875 × 2 - 1) × π
    0.0224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07056312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    0.3505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10139820567041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07056312} λ = 0.07056312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10139820567041))-π/2
    2×atan(3.00836940382597)-π/2
    2×1.24988061644233-π/2
    2.49976123288466-1.57079632675     		φ = 0.92896491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07056312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92896491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.225769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1047 KachelY 665 0.07056312 0.92896491 4.042969 53.225769
    Oben rechts KachelX + 1 1048 KachelY 665 0.07363108 0.92896491 4.218750 53.225769
    Unten links KachelX 1047 KachelY + 1 666 0.07056312 0.92712597 4.042969 53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 1048 KachelY + 1 666 0.07363108 0.92712597 4.218750 53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92896491-0.92712597) × R
    0.00183894000000007 × 6371000     		dl = 11715.8867400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92896491-0.92712597) × R
    0.00183894000000007 × 6371000     		dr = 11715.8867400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07056312-0.07363108) × cos(0.92896491) × R
    0.00306796000000001 × 0.598663410660725 × 6371000     		do = 11701.4589566486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07056312-0.07363108) × cos(0.92712597) × R
    0.00306796000000001 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 11730.2302215373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92896491)-sin(0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598663410660725-0.600135389807178)×R²
    abs(0.07363108-0.07056312)×0.00147197914645292×R²
    0.00306796000000001×0.00147197914645292×6371000²
    0.00306796000000001×0.00147197914645292×40589641000000     		ar = 137261546.950708m²