Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1048 / 664
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  4.218750°		 ← 11.673 km → N 53.330873°
E  4.394531°		 →
↑
11.687 km
↓
↑
11.687 km
↓
N 53.225769°
E  4.218750°		 ← 11.701 km →
136.588 km²		 N 53.225769°
E  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511962890625 y=0.324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511962890625 × 211)
    floor (0.511962890625 × 2048)
    floor (1048.5)     		tx = 1048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324462890625 × 211)
    floor (0.324462890625 × 2048)
    floor (664.5)     		ty = 664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1048 / 664 ti = "11/1048/664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1048/664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1048 ÷ 211
    1048 ÷ 2048     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 664 ÷ 211
    664 ÷ 2048     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1048 KachelY 664 0.07363108 0.93079933 4.218750 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 1049 KachelY 664 0.07669904 0.93079933 4.394531 53.330873
    Unten links KachelX 1048 KachelY + 1 665 0.07363108 0.92896491 4.218750 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 1049 KachelY + 1 665 0.07669904 0.92896491 4.394531 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.92896491) × R
    0.00183442 × 6371000     		dl = 11687.08982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.92896491) × R
    0.00183442 × 6371000     		dr = 11687.08982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.93079933) × R
    0.00306795999999999 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 11672.7189846158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.92896491) × R
    0.00306795999999999 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 11701.4589566486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.598663410660725)×R²
    abs(0.07669904-0.07363108)×0.00147037815909923×R²
    0.00306795999999999×0.00147037815909923×6371000²
    0.00306795999999999×0.00147037815909923×40589641000000     		ar = 136588096.836804m²