Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1056 / 736
↖ ↑ ↗
← N 45.089036°
E  5.625000°		 ← 13.800 km → N 45.089036°
E  5.800781°		 →
↑
13.815 km
↓
↑
13.815 km
↓
N 44.964798°
E  5.625000°		 ← 13.830 km →
190.843 km²		 N 44.964798°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515869140625 y=0.359619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515869140625 × 211)
    floor (0.515869140625 × 2048)
    floor (1056.5)     		tx = 1056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359619140625 × 211)
    floor (0.359619140625 × 2048)
    floor (736.5)     		ty = 736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1056 / 736 ti = "11/1056/736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1056/736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1056 ÷ 211
    1056 ÷ 2048     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 736 ÷ 211
    736 ÷ 2048     		y = 0.359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359375 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883572933796875))-π/2
    2×atan(2.41952909840215)-π/2
    2×1.17887422696609-π/2
    2.35774845393219-1.57079632675     		φ = 0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1056 KachelY 736 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 1057 KachelY 736 0.10124273 0.78695213 5.800781 45.089036
    Unten links KachelX 1056 KachelY + 1 737 0.09817477 0.78478377 5.625000 44.964798
    Unten rechts KachelX + 1 1057 KachelY + 1 737 0.10124273 0.78478377 5.800781 44.964798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78695213-0.78478377) × R
    0.00216835999999998 × 6371000     		dl = 13814.6215599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78695213-0.78478377) × R
    0.00216835999999998 × 6371000     		dr = 13814.6215599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.10124273) × cos(0.78695213) × R
    0.00306796000000001 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 13799.5959747758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.10124273) × cos(0.78478377) × R
    0.00306796000000001 × 0.707541089437804 × 6371000     		du = 13829.5791437485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78695213)-sin(0.78478377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.707541089437804)×R²
    abs(0.10124273-0.09817477)×0.00153398189628717×R²
    0.00306796000000001×0.00153398189628717×6371000²
    0.00306796000000001×0.00153398189628717×40589641000000     		ar = 190843373.914073m²