Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1059 / 693
↖ ↑ ↗
← N 50.176898°
E  6.152344°		 ← 12.518 km → N 50.176898°
E  6.328125°		 →
↑
12.532 km
↓
↑
12.532 km
↓
N 50.064192°
E  6.152344°		 ← 12.547 km →
157.061 km²		 N 50.064192°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517333984375 y=0.338623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517333984375 × 211)
    floor (0.517333984375 × 2048)
    floor (1059.5)     		tx = 1059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338623046875 × 211)
    floor (0.338623046875 × 2048)
    floor (693.5)     		ty = 693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1059 / 693 ti = "11/1059/693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1059/693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1059 ÷ 211
    1059 ÷ 2048     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 693 ÷ 211
    693 ÷ 2048     		y = 0.33837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33837890625 × 2 - 1) × π
    0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01549528155127))-π/2
    2×atan(2.76073039765732)-π/2
    2×1.22327420372149-π/2
    2.44654840744299-1.57079632675     		φ = 0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1059 KachelY 693 0.10737866 0.87575208 6.152344 50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 1060 KachelY 693 0.11044662 0.87575208 6.328125 50.176898
    Unten links KachelX 1059 KachelY + 1 694 0.10737866 0.87378498 6.152344 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 1060 KachelY + 1 694 0.11044662 0.87378498 6.328125 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87575208-0.87378498) × R
    0.0019671 × 6371000     		dl = 12532.3941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87575208-0.87378498) × R
    0.0019671 × 6371000     		dr = 12532.3941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.87575208) × R
    0.00306795999999999 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 12517.6208495605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.87378498) × R
    0.00306795999999999 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 12547.1263302239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87575208)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.641928965496643)×R²
    abs(0.11044662-0.10737866)×0.00150954267776082×R²
    0.00306795999999999×0.00150954267776082×6371000²
    0.00306795999999999×0.00150954267776082×40589641000000     		ar = 157060695.482259m²