Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1063 / 684
↖ ↑ ↗
← N 51.179343°
E  6.855469°		 ← 12.253 km → N 51.179343°
E  7.031250°		 →
↑
12.268 km
↓
↑
12.268 km
↓
N 51.069017°
E  6.855469°		 ← 12.282 km →
150.497 km²		 N 51.069017°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519287109375 y=0.334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519287109375 × 211)
    floor (0.519287109375 × 2048)
    floor (1063.5)     		tx = 1063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334228515625 × 211)
    floor (0.334228515625 × 2048)
    floor (684.5)     		ty = 684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1063 / 684 ti = "11/1063/684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1063/684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1063 ÷ 211
    1063 ÷ 2048     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 684 ÷ 211
    684 ÷ 2048     		y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675     		φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1063 KachelY 684 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 1064 KachelY 684 0.12271846 0.89324804 7.031250 51.179343
    Unten links KachelX 1063 KachelY + 1 685 0.11965050 0.89132249 6.855469 51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 1064 KachelY + 1 685 0.12271846 0.89132249 7.031250 51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89324804-0.89132249) × R
    0.00192555000000005 × 6371000     		dl = 12267.6790500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89324804-0.89132249) × R
    0.00192555000000005 × 6371000     		dr = 12267.6790500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(0.89324804) × R
    0.00306795999999999 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 12253.0725139707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(0.89132249) × R
    0.00306795999999999 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 12282.3730227415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.628383806843492)×R²
    abs(0.12271846-0.11965050)×0.00149905602197187×R²
    0.00306795999999999×0.00149905602197187×6371000²
    0.00306795999999999×0.00149905602197187×40589641000000     		ar = 150496532.096776m²