Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1064 / 744
↖ ↑ ↗
← N 44.087585°
E  7.031250°		 ← 14.039 km → N 44.087585°
E  7.207031°		 →
↑
14.054 km
↓
↑
14.054 km
↓
N 43.961191°
E  7.031250°		 ← 14.069 km →
197.527 km²		 N 43.961191°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519775390625 y=0.363525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519775390625 × 211)
    floor (0.519775390625 × 2048)
    floor (1064.5)     		tx = 1064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363525390625 × 211)
    floor (0.363525390625 × 2048)
    floor (744.5)     		ty = 744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1064 / 744 ti = "11/1064/744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1064/744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1064 ÷ 211
    1064 ÷ 2048     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 744 ÷ 211
    744 ÷ 2048     		y = 0.36328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36328125 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859029241191406))-π/2
    2×atan(2.36086774777506)-π/2
    2×1.17013492238655-π/2
    2.3402698447731-1.57079632675     		φ = 0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1064 KachelY 744 0.12271846 0.76947352 7.031250 44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 1065 KachelY 744 0.12578642 0.76947352 7.207031 44.087585
    Unten links KachelX 1064 KachelY + 1 745 0.12271846 0.76726752 7.031250 43.961191
    Unten rechts KachelX + 1 1065 KachelY + 1 745 0.12578642 0.76726752 7.207031 43.961191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76947352-0.76726752) × R
    0.00220600000000004 × 6371000     		dl = 14054.4260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76947352-0.76726752) × R
    0.00220600000000004 × 6371000     		dr = 14054.4260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12578642) × cos(0.76947352) × R
    0.00306796000000001 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 14039.4243586131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12578642) × cos(0.76726752) × R
    0.00306796000000001 × 0.719810162741409 × 6371000     		du = 14069.3901212389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76947352)-sin(0.76726752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.719810162741409)×R²
    abs(0.12578642-0.12271846)×0.00153309136262925×R²
    0.00306796000000001×0.00153309136262925×6371000²
    0.00306796000000001×0.00153309136262925×40589641000000     		ar = 197526706.631668m²