Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1065 / 679
↖ ↑ ↗
← N 51.727028°
E  7.207031°		 ← 12.107 km → N 51.727028°
E  7.382813°		 →
↑
12.122 km
↓
↑
12.122 km
↓
N 51.618016°
E  7.207031°		 ← 12.136 km →
146.932 km²		 N 51.618016°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520263671875 y=0.331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520263671875 × 211)
    floor (0.520263671875 × 2048)
    floor (1065.5)     		tx = 1065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331787109375 × 211)
    floor (0.331787109375 × 2048)
    floor (679.5)     		ty = 679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1065 / 679 ti = "11/1065/679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1065/679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1065 ÷ 211
    1065 ÷ 2048     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 679 ÷ 211
    679 ÷ 2048     		y = 0.33154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05844674361084))-π/2
    2×atan(2.8818911951225)-π/2
    2×1.23680164019423-π/2
    2.47360328038846-1.57079632675     		φ = 0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1065 KachelY 679 0.12578642 0.90280695 7.207031 51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 1066 KachelY 679 0.12885439 0.90280695 7.382813 51.727028
    Unten links KachelX 1065 KachelY + 1 680 0.12578642 0.90090434 7.207031 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 1066 KachelY + 1 680 0.12885439 0.90090434 7.382813 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90280695-0.90090434) × R
    0.00190261000000003 × 6371000     		dl = 12121.5283100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90280695-0.90090434) × R
    0.00190261000000003 × 6371000     		dr = 12121.5283100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12885439) × cos(0.90280695) × R
    0.00306797 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 12106.986516619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12885439) × cos(0.90090434) × R
    0.00306797 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 12136.1600996824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90280695)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.620901320323887)×R²
    abs(0.12885439-0.12578642)×0.00149255745588706×R²
    0.00306797×0.00149255745588706×6371000²
    0.00306797×0.00149255745588706×40589641000000     		ar = 146932038.340073m²