Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1068 / 677
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
E  7.734375°		 ← 12.049 km → N 51.944265°
E  7.910156°		 →
↑
12.063 km
↓
↑
12.063 km
↓
N 51.835778°
E  7.734375°		 ← 12.078 km →
145.522 km²		 N 51.835778°
E  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521728515625 y=0.330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521728515625 × 211)
    floor (0.521728515625 × 2048)
    floor (1068.5)     		tx = 1068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330810546875 × 211)
    floor (0.330810546875 × 2048)
    floor (677.5)     		ty = 677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1068 / 677 ti = "11/1068/677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1068/677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1068 ÷ 211
    1068 ÷ 2048     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 677 ÷ 211
    677 ÷ 2048     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1068 KachelY 677 0.13499031 0.90659845 7.734375 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 1069 KachelY 677 0.13805827 0.90659845 7.910156 51.944265
    Unten links KachelX 1068 KachelY + 1 678 0.13499031 0.90470499 7.734375 51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 1069 KachelY + 1 678 0.13805827 0.90470499 7.910156 51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90470499) × R
    0.0018934599999999 × 6371000     		dl = 12063.2336599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90470499) × R
    0.0018934599999999 × 6371000     		dr = 12063.2336599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13805827) × cos(0.90659845) × R
    0.00306796000000001 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 12048.6798670968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13805827) × cos(0.90470499) × R
    0.00306796000000001 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 12077.7999712389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.617917556336133)×R²
    abs(0.13805827-0.13499031)×0.00148982626261418×R²
    0.00306796000000001×0.00148982626261418×6371000²
    0.00306796000000001×0.00148982626261418×40589641000000     		ar = 145521725.318487m²