Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1089 / 703
↖ ↑ ↗
← N 49.037868°
E 11.425781°		 ← 12.814 km → N 49.037868°
E 11.601562°		 →
↑
12.828 km
↓
↑
12.828 km
↓
N 48.922499°
E 11.425781°		 ← 12.843 km →
164.568 km²		 N 48.922499°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531982421875 y=0.343505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531982421875 × 211)
    floor (0.531982421875 × 2048)
    floor (1089.5)     		tx = 1089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343505859375 × 211)
    floor (0.343505859375 × 2048)
    floor (703.5)     		ty = 703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1089 / 703 ti = "11/1089/703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1089/703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1089 ÷ 211
    1089 ÷ 2048     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 703 ÷ 211
    703 ÷ 2048     		y = 0.34326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984815665794434))-π/2
    2×atan(2.6773183175867)-π/2
    2×1.21333429029029-π/2
    2.42666858058058-1.57079632675     		φ = 0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1089 KachelY 703 0.19941750 0.85587225 11.425781 49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 1090 KachelY 703 0.20248546 0.85587225 11.601562 49.037868
    Unten links KachelX 1089 KachelY + 1 704 0.19941750 0.85385869 11.425781 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 1090 KachelY + 1 704 0.20248546 0.85385869 11.601562 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85587225-0.85385869) × R
    0.00201355999999997 × 6371000     		dl = 12828.3907599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85587225-0.85385869) × R
    0.00201355999999997 × 6371000     		dr = 12828.3907599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.20248546) × cos(0.85587225) × R
    0.00306796000000001 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 12813.5598400271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.20248546) × cos(0.85385869) × R
    0.00306796000000001 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 12843.2540000509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85587225)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.657079281492828)×R²
    abs(0.20248546-0.19941750)×0.00151919578425552×R²
    0.00306796000000001×0.00151919578425552×6371000²
    0.00306796000000001×0.00151919578425552×40589641000000     		ar = 164567872.400874m²