Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1122 / 738
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
E 17.226562°		 ← 13.860 km → N 44.840291°
E 17.402344°		 →
↑
13.875 km
↓
↑
13.875 km
↓
N 44.715514°
E 17.226562°		 ← 13.890 km →
192.504 km²		 N 44.715514°
E 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548095703125 y=0.360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548095703125 × 211)
    floor (0.548095703125 × 2048)
    floor (1122.5)     		tx = 1122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360595703125 × 211)
    floor (0.360595703125 × 2048)
    floor (738.5)     		ty = 738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1122 / 738 ti = "11/1122/738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1122/738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1122 ÷ 211
    1122 ÷ 2048     		x = 0.5478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 738 ÷ 211
    738 ÷ 2048     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30066023} λ = 0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1122 KachelY 738 0.30066023 0.78261071 17.226562 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 1123 KachelY 738 0.30372820 0.78261071 17.402344 44.840291
    Unten links KachelX 1122 KachelY + 1 739 0.30066023 0.78043294 17.226562 44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 1123 KachelY + 1 739 0.30372820 0.78043294 17.402344 44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.78043294) × R
    0.00217777000000008 × 6371000     		dl = 13874.5726700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.78043294) × R
    0.00217777000000008 × 6371000     		dr = 13874.5726700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30066023-0.30372820) × cos(0.78261071) × R
    0.00306797000000003 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 13859.607242164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30066023-0.30372820) × cos(0.78043294) × R
    0.00306797000000003 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 13889.5895891429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.710608993604276)×R²
    abs(0.30372820-0.30066023)×0.00153393484204944×R²
    0.00306797000000003×0.00153393484204944×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153393484204944×40589641000000     		ar = 192504200.067244m²