Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11263 / 7169
↖ ↑ ↗
← N 21.922663°
E 67.478027°		 ← 2 266.60 m → N 21.922663°
E 67.500000°		 →
↑
2 266.74 m
↓
↑
2 266.74 m
↓
N 21.902278°
E 67.478027°		 ← 2 266.93 m →
5 138 160 m²		 N 21.902278°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687469482421875 y=0.437591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687469482421875 × 214)
    floor (0.687469482421875 × 16384)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437591552734375 × 214)
    floor (0.437591552734375 × 16384)
    floor (7169.5)     		ty = 7169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11263 / 7169 ti = "14/11263/7169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11263/7169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 214
    11263 ÷ 16384     		x = 0.68743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7169 ÷ 214
    7169 ÷ 16384     		y = 0.43756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68743896484375 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17771375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17771375} λ = 1.17771375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39231558649054))-π/2
    2×atan(1.48040483345567)-π/2
    2×0.976709490296529-π/2
    1.95341898059306-1.57079632675     		φ = 0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17771375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.478027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 7169 1.17771375 0.38262265 67.478027 21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 7169 1.17809725 0.38262265 67.500000 21.922663
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 7170 1.17771375 0.38226686 67.478027 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 7170 1.17809725 0.38226686 67.500000 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38262265-0.38226686) × R
    0.000355790000000022 × 6371000     		dl = 2266.73809000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38262265-0.38226686) × R
    0.000355790000000022 × 6371000     		dr = 2266.73809000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(0.38262265) × R
    0.000383500000000092 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 2266.60172911211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(0.38226686) × R
    0.000383500000000092 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 2266.92614071301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38262265)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927821425479114)×R²
    abs(1.17809725-1.17771375)×0.000132777168426301×R²
    0.000383500000000092×0.000132777168426301×6371000²
    0.000383500000000092×0.000132777168426301×40589641000000     		ar = 5138160.20650668m²