Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11274 / 3082
↖ ↑ ↗
← N 73.958939°
E 67.719727°		 ← 675.12 m → N 73.958939°
E 67.741699°		 →
↑
675.20 m
↓
↑
675.20 m
↓
N 73.952866°
E 67.719727°		 ← 675.37 m →
455 927 m²		 N 73.952866°
E 67.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688140869140625 y=0.188140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688140869140625 × 214)
    floor (0.688140869140625 × 16384)
    floor (11274.5)     		tx = 11274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188140869140625 × 214)
    floor (0.188140869140625 × 16384)
    floor (3082.5)     		ty = 3082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11274 / 3082 ti = "14/11274/3082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11274/3082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11274 ÷ 214
    11274 ÷ 16384     		x = 0.6881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3082 ÷ 214
    3082 ÷ 16384     		y = 0.1881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6881103515625 × 2 - 1) × π
    0.376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18193220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1881103515625 × 2 - 1) × π
    0.623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18193220} λ = 1.18193220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9596604564679))-π/2
    2×atan(7.09691694376308)-π/2
    2×1.43081166070401-π/2
    2.86162332140802-1.57079632675     		φ = 1.29082699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18193220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29082699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.958939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11274 KachelY 3082 1.18193220 1.29082699 67.719727 73.958939
    Oben rechts KachelX + 1 11275 KachelY 3082 1.18231569 1.29082699 67.741699 73.958939
    Unten links KachelX 11274 KachelY + 1 3083 1.18193220 1.29072101 67.719727 73.952866
    Unten rechts KachelX + 1 11275 KachelY + 1 3083 1.18231569 1.29072101 67.741699 73.952866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29082699-1.29072101) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dl = 675.198580000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29082699-1.29072101) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dr = 675.198580000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18193220-1.18231569) × cos(1.29082699) × R
    0.000383489999999931 × 0.276326179394178 × 6371000     		do = 675.124208359928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18193220-1.18231569) × cos(1.29072101) × R
    0.000383489999999931 × 0.276428031395547 × 6371000     		du = 675.373054676062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29082699)-sin(1.29072101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276326179394178-0.276428031395547)×R²
    abs(1.18231569-1.18193220)×0.000101852001368197×R²
    0.000383489999999931×0.000101852001368197×6371000²
    0.000383489999999931×0.000101852001368197×40589641000000     		ar = 455926.917574237m²