Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114728 / 81960
↖ ↑ ↗
← S 41.062786°
E135.109864°		 ← 230.24 m → S 41.062786°
E135.112610°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 41.064857°
E135.109864°		 ← 230.23 m →
53 011 m²		 S 41.064857°
E135.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875308990478516 y=0.625308990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875308990478516 × 217)
    floor (0.875308990478516 × 131072)
    floor (114728.5)     		tx = 114728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625308990478516 × 217)
    floor (0.625308990478516 × 131072)
    floor (81960.5)     		ty = 81960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114728 / 81960 ti = "17/114728/81960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114728/81960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114728 ÷ 217
    114728 ÷ 131072     		x = 0.87530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81960 ÷ 217
    81960 ÷ 131072     		y = 0.62530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87530517578125 × 2 - 1) × π
    0.7506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35811197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787315639359802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35811197} λ = 2.35811197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787315639359802))-π/2
    2×atan(0.455064715007277)-π/2
    2×0.427057754935207-π/2
    0.854115509870414-1.57079632675     		φ = -0.71668082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35811197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71668082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.062786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114728 KachelY 81960 2.35811197 -0.71668082 135.109864 -41.062786
    Oben rechts KachelX + 1 114729 KachelY 81960 2.35815990 -0.71668082 135.112610 -41.062786
    Unten links KachelX 114728 KachelY + 1 81961 2.35811197 -0.71671696 135.109864 -41.064857
    Unten rechts KachelX + 1 114729 KachelY + 1 81961 2.35815990 -0.71671696 135.112610 -41.064857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71668082--0.71671696) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dl = 230.24793999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71668082--0.71671696) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dr = 230.24793999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35811197-2.35815990) × cos(-0.71668082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753990200236294 × 6371000     		do = 230.239978144402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35811197-2.35815990) × cos(-0.71671696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753966459895943 × 6371000     		du = 230.23272874588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71668082)-sin(-0.71671696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753990200236294-0.753966459895943)×R²
    abs(2.35815990-2.35811197)×2.37403403503533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37403403503533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37403403503533e-05×40589641000000     		ar = 53011.44609964m²