Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114756 / 81988
↖ ↑ ↗
← S 41.120746°
E135.186768°		 ← 230.08 m → S 41.120746°
E135.189514°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 41.122814°
E135.186768°		 ← 230.08 m →
52 932 m²		 S 41.122814°
E135.189514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875522613525391 y=0.625522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875522613525391 × 217)
    floor (0.875522613525391 × 131072)
    floor (114756.5)     		tx = 114756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625522613525391 × 217)
    floor (0.625522613525391 × 131072)
    floor (81988.5)     		ty = 81988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114756 / 81988 ti = "17/114756/81988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114756/81988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114756 ÷ 217
    114756 ÷ 131072     		x = 0.875518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81988 ÷ 217
    81988 ÷ 131072     		y = 0.625518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875518798828125 × 2 - 1) × π
    0.75103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35945420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.25103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788657872549164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35945420} λ = 2.35945420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788657872549164))-π/2
    2×atan(0.45445432178015)-π/2
    2×0.426551962694258-π/2
    0.853103925388517-1.57079632675     		φ = -0.71769240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35945420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71769240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.120746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114756 KachelY 81988 2.35945420 -0.71769240 135.186768 -41.120746
    Oben rechts KachelX + 1 114757 KachelY 81988 2.35950214 -0.71769240 135.189514 -41.120746
    Unten links KachelX 114756 KachelY + 1 81989 2.35945420 -0.71772851 135.186768 -41.122814
    Unten rechts KachelX + 1 114757 KachelY + 1 81989 2.35950214 -0.71772851 135.189514 -41.122814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71769240--0.71772851) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71769240--0.71772851) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35945420-2.35950214) × cos(-0.71769240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753325322170974 × 6371000     		do = 230.084943984657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35945420-2.35950214) × cos(-0.71772851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753301574008715 × 6371000     		du = 230.077690684626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71769240)-sin(-0.71772851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753325322170974-0.753301574008715)×R²
    abs(2.35950214-2.35945420)×2.37481622586966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37481622586966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37481622586966e-05×40589641000000     		ar = 52931.7739122075m²