Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1152 / 640
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 22.500000°		 ← 10.993 km → N 55.776573°
E 22.675781°		 →
↑
11.007 km
↓
↑
11.007 km
↓
N 55.677585°
E 22.500000°		 ← 11.021 km →
121.154 km²		 N 55.677585°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562744140625 y=0.312744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562744140625 × 211)
    floor (0.562744140625 × 2048)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312744140625 × 211)
    floor (0.312744140625 × 2048)
    floor (640.5)     		ty = 640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1152 / 640 ti = "11/1152/640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1152/640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 211
    1152 ÷ 2048     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 640 ÷ 211
    640 ÷ 2048     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 640 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 640 0.39576704 0.97348484 22.675781 55.776573
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 641 0.39269908 0.97175717 22.500000 55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 641 0.39576704 0.97175717 22.675781 55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.97175717) × R
    0.00172767000000007 × 6371000     		dl = 11006.9855700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.97175717) × R
    0.00172767000000007 × 6371000     		dr = 11006.9855700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(0.97348484) × R
    0.00306796000000004 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 10993.0757336524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(0.97175717) × R
    0.00306796000000004 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 11020.9812269698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.563849194755044)×R²
    abs(0.39576704-0.39269908)×0.00142768503205271×R²
    0.00306796000000004×0.00142768503205271×6371000²
    0.00306796000000004×0.00142768503205271×40589641000000     		ar = 121154233.786902m²