Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11840 / 22080
↖ ↑ ↗
← S 52.908902°
W 49.921875°		 ← 736.75 m → S 52.908902°
W 49.910889°		 →
↑
736.74 m
↓
↑
736.74 m
↓
S 52.915527°
W 49.921875°		 ← 736.64 m →
542 754 m²		 S 52.915527°
W 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361343383789062 y=0.673843383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361343383789062 × 215)
    floor (0.361343383789062 × 32768)
    floor (11840.5)     		tx = 11840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673843383789062 × 215)
    floor (0.673843383789062 × 32768)
    floor (22080.5)     		ty = 22080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11840 / 22080 ti = "15/11840/22080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11840/22080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11840 ÷ 215
    11840 ÷ 32768     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22080 ÷ 215
    22080 ÷ 32768     		y = 0.673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09219432094336))-π/2
    2×atan(0.335479535670024)-π/2
    2×0.323680891232481-π/2
    0.647361782464962-1.57079632675     		φ = -0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11840 KachelY 22080 -0.87130109 -0.92343454 -49.921875 -52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 11841 KachelY 22080 -0.87110934 -0.92343454 -49.910889 -52.908902
    Unten links KachelX 11840 KachelY + 1 22081 -0.87130109 -0.92355018 -49.921875 -52.915527
    Unten rechts KachelX + 1 11841 KachelY + 1 22081 -0.87110934 -0.92355018 -49.910889 -52.915527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92343454--0.92355018) × R
    0.000115639999999972 × 6371000     		dl = 736.742439999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92343454--0.92355018) × R
    0.000115639999999972 × 6371000     		dr = 736.742439999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(-0.92343454) × R
    0.000191750000000046 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 736.751162757506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(-0.92355018) × R
    0.000191750000000046 × 0.602991815809947 × 6371000     		du = 736.638469622378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92343454)-sin(-0.92355018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.602991815809947)×R²
    abs(-0.87110934--0.87130109)×9.22474741440471e-05×R²
    0.000191750000000046×9.22474741440471e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.22474741440471e-05×40589641000000     		ar = 542754.337020116m²