Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 119 / 71
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W 12.656250°		 ← 72.764 km → N 62.267923°
W 11.250000°		 →
↑
73.558 km
↓
↑
73.558 km
↓
N 61.606397°
W 12.656250°		 ← 74.357 km →
5 411.04 km²		 N 61.606397°
W 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466796875 y=0.279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466796875 × 28)
    floor (0.466796875 × 256)
    floor (119.5)     		tx = 119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279296875 × 28)
    floor (0.279296875 × 256)
    floor (71.5)     		ty = 71
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 119 / 71 ti = "8/119/71"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/119/71.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119 ÷ 28
    119 ÷ 256     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71 ÷ 28
    71 ÷ 256     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119 KachelY 71 -0.22089323 1.08678027 -12.656250 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 120 KachelY 71 -0.19634954 1.08678027 -11.250000 62.267923
    Unten links KachelX 119 KachelY + 1 72 -0.22089323 1.07523446 -12.656250 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 120 KachelY + 1 72 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.07523446) × R
    0.0115458100000001 × 6371000     		dl = 73558.3555100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.07523446) × R
    0.0115458100000001 × 6371000     		dr = 73558.3555100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.19634954) × cos(1.08678027) × R
    0.02454369 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 72763.8495746152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.19634954) × cos(1.07523446) × R
    0.02454369 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 74356.977987296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.19634954--0.22089323)×0.0101883374553718×R²
    0.02454369×0.0101883374553718×6371000²
    0.02454369×0.0101883374553718×40589641000000     		ar = 5411043178.75025m²