Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11904 / 22144
↖ ↑ ↗
← S 53.330873°
W 49.218750°		 ← 729.55 m → S 53.330873°
W 49.207763°		 →
↑
729.48 m
↓
↑
729.48 m
↓
S 53.337434°
W 49.218750°		 ← 729.44 m →
532 154 m²		 S 53.337434°
W 49.207763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363296508789062 y=0.675796508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363296508789062 × 215)
    floor (0.363296508789062 × 32768)
    floor (11904.5)     		tx = 11904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675796508789062 × 215)
    floor (0.675796508789062 × 32768)
    floor (22144.5)     		ty = 22144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11904 / 22144 ti = "15/11904/22144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11904/22144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11904 ÷ 215
    11904 ÷ 32768     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22144 ÷ 215
    22144 ÷ 32768     		y = 0.67578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67578125 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10446616724609))-π/2
    2×atan(0.33138774066158)-π/2
    2×0.319998500148606-π/2
    0.639997000297211-1.57079632675     		φ = -0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11904 KachelY 22144 -0.85902924 -0.93079933 -49.218750 -53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 11905 KachelY 22144 -0.85883749 -0.93079933 -49.207763 -53.330873
    Unten links KachelX 11904 KachelY + 1 22145 -0.85902924 -0.93091383 -49.218750 -53.337434
    Unten rechts KachelX + 1 11905 KachelY + 1 22145 -0.85883749 -0.93091383 -49.207763 -53.337434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93079933--0.93091383) × R
    0.000114500000000017 × 6371000     		dl = 729.479500000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93079933--0.93091383) × R
    0.000114500000000017 × 6371000     		dr = 729.479500000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85883749) × cos(-0.93079933) × R
    0.000191750000000046 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 729.554448330687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85883749) × cos(-0.93091383) × R
    0.000191750000000046 × 0.597101188417518 × 6371000     		du = 729.442247992661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93079933)-sin(-0.93091383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597101188417518)×R²
    abs(-0.85883749--0.85902924)×9.18440841074508e-05×R²
    0.000191750000000046×9.18440841074508e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.18440841074508e-05×40589641000000     		ar = 532154.090848819m²