Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1216 / 832
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 33.750000°		 ← 16.585 km → N 31.952162°
E 33.925781°		 →
↑
16.598 km
↓
↑
16.598 km
↓
N 31.802893°
E 33.750000°		 ← 16.611 km →
275.494 km²		 N 31.802893°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593994140625 y=0.406494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593994140625 × 211)
    floor (0.593994140625 × 2048)
    floor (1216.5)     		tx = 1216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406494140625 × 211)
    floor (0.406494140625 × 2048)
    floor (832.5)     		ty = 832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1216 / 832 ti = "11/1216/832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1216/832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1216 ÷ 211
    1216 ÷ 2048     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 832 ÷ 211
    832 ÷ 2048     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1216 KachelY 832 0.58904862 0.55767043 33.750000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 1217 KachelY 832 0.59211658 0.55767043 33.925781 31.952162
    Unten links KachelX 1216 KachelY + 1 833 0.58904862 0.55506519 33.750000 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 1217 KachelY + 1 833 0.59211658 0.55506519 33.925781 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55506519) × R
    0.00260524000000006 × 6371000     		dl = 16597.9840400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55506519) × R
    0.00260524000000006 × 6371000     		dr = 16597.9840400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(0.55767043) × R
    0.00306795999999998 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 16584.5675815509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(0.55506519) × R
    0.00306795999999998 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 16611.4597266862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.849866087030189)×R²
    abs(0.59211658-0.58904862)×0.00137584068673113×R²
    0.00306795999999998×0.00137584068673113×6371000²
    0.00306795999999998×0.00137584068673113×40589641000000     		ar = 275493721.547765m²