Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1218 / 578
↖ ↑ ↗
← N 61.438767°
E 34.101563°		 ← 9 344.88 m → N 61.438767°
E 34.277344°		 →
↑
9 357.47 m
↓
↑
9 357.47 m
↓
N 61.354614°
E 34.101563°		 ← 9 370.09 m →
87 562 418 m²		 N 61.354614°
E 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594970703125 y=0.282470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594970703125 × 211)
    floor (0.594970703125 × 2048)
    floor (1218.5)     		tx = 1218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282470703125 × 211)
    floor (0.282470703125 × 2048)
    floor (578.5)     		ty = 578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1218 / 578 ti = "11/1218/578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1218/578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1218 ÷ 211
    1218 ÷ 2048     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 578 ÷ 211
    578 ÷ 2048     		y = 0.2822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36831086275488))-π/2
    2×atan(3.92870895901954)-π/2
    2×1.32155255395411-π/2
    2.64310510790823-1.57079632675     		φ = 1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1218 KachelY 578 0.59518455 1.07230878 34.101563 61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 1219 KachelY 578 0.59825251 1.07230878 34.277344 61.438767
    Unten links KachelX 1218 KachelY + 1 579 0.59518455 1.07084002 34.101563 61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 1219 KachelY + 1 579 0.59825251 1.07084002 34.277344 61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07230878-1.07084002) × R
    0.00146876000000007 × 6371000     		dl = 9357.46996000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07230878-1.07084002) × R
    0.00146876000000007 × 6371000     		dr = 9357.46996000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59825251) × cos(1.07230878) × R
    0.00306795999999998 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 9344.8845815205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59825251) × cos(1.07084002) × R
    0.00306795999999998 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 9370.08922231856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07230878)-sin(1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.479387193751709)×R²
    abs(0.59825251-0.59518455)×0.00128950554632079×R²
    0.00306795999999998×0.00128950554632079×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128950554632079×40589641000000     		ar = 87562418.3270219m²