Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1224 / 584
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E 35.156250°		 ← 9 496.83 m → N 60.930432°
E 35.332031°		 →
↑
9 509.61 m
↓
↑
9 509.61 m
↓
N 60.844910°
E 35.156250°		 ← 9 522.31 m →
90 432 317 m²		 N 60.844910°
E 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597900390625 y=0.285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597900390625 × 211)
    floor (0.597900390625 × 2048)
    floor (1224.5)     		tx = 1224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285400390625 × 211)
    floor (0.285400390625 × 2048)
    floor (584.5)     		ty = 584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1224 / 584 ti = "11/1224/584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1224/584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1224 ÷ 211
    1224 ÷ 2048     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 584 ÷ 211
    584 ÷ 2048     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1224 KachelY 584 0.61359232 1.06343666 35.156250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 1225 KachelY 584 0.61666028 1.06343666 35.332031 60.930432
    Unten links KachelX 1224 KachelY + 1 585 0.61359232 1.06194402 35.156250 60.844910
    Unten rechts KachelX + 1 1225 KachelY + 1 585 0.61666028 1.06194402 35.332031 60.844910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06194402) × R
    0.00149263999999993 × 6371000     		dl = 9509.60943999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06194402) × R
    0.00149263999999993 × 6371000     		dr = 9509.60943999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61666028) × cos(1.06343666) × R
    0.00306795999999998 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 9496.82566171024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61666028) × cos(1.06194402) × R
    0.00306795999999998 × 0.48717528264816 × 6371000     		du = 9522.3149988563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06194402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.48717528264816)×R²
    abs(0.61666028-0.61359232)×0.00130407101950902×R²
    0.00306795999999998×0.00130407101950902×6371000²
    0.00306795999999998×0.00130407101950902×40589641000000     		ar = 90432316.573279m²